тройни интеграли
Тройни интеграли имат същите свойства като двойните интеграли (линейност, адитивност формула средна стойност и т.н.)
I. Изчисляване на тройни интеграли чрез повторно интегриране.
1. Да приемем, че F функция (X, Y, Z) е непрекъсната в Т. изкуство
Първо, нека Т = [а, б; С, D; Е, F] - правоъгълен паралелепипед, се проектира върху YZ равнина в правоъгълник R = [с, г; Е, F]. след това
Смяна в (1) на двойно интеграл повтаряща се получи
Изчисляването на тройна неразделна се редуцира до три последователни изчисления на определени интеграли.
Ако първите две интеграли в (2) са комбинирани в двойна, то ще бъде
където Р = [а, б; С, D] - паралелепипед проекция Т на XY равнина.
Имайте предвид, че можете да промените ролята на променливите в тези случаи.
2. Да T област затворено между равнините х = а и х = б, освен това, всяка секция на област Т представлява Площ равнина фигура G (х) (Фиг. 1). след това
3. Да приемем сега, че тялото е Т "цилиндричен дървен материал", ограничена по-долу и по-горе, съответно, повърхностите Z = Z1 (х, у) и Z = Z2 (х, у). проектиране върху равнина XY в някои squarability фигура G (фигура 2), z1 (х, у) и Z2 (х, у) - непрекъснато в G. След
Имайте предвид, че заедно с горните формули имат място и други подобни, в резултат на пермутация променливи X, Y и Z.
Ако условията
1. Дисплей (6) bijectively;
2. Функции в (6) непрекъснато - диференцируема в
3. Jacobian
След това имаме формулата
Формула (6) се нарича криволинейни координати (U, V, W) в Т. разгледаме примери за криволинейни координати.
1. цилиндрични координати са полярни координати в съединение XY равнина с обичайната декартови applicate Z (фиг. 3).
Нека М (х, у, Z) - произволна точка в пространството XYZ. P - проекция на точка М на XY равнина. Точка М е еднозначно определена от триплет от числа - полярните координати на точка P. Z - applicate точка М. формули тях, свързани с декартови имат формата
Jacobian (8)
2. Сферични координати. Нека М (х, у) - произволна точка в пространството XYZ. P - проекция на точка М на XY равнина. точка М се определя еднозначно от три числа, където R - разстояние от точка М в точка 0, - ъгълът между лъчите ОМ и Оз. - полярен ъгъл на точка Р на XY равнина. Три номера наречени сферични координати на точка М.
Те са свързани с правоъгълни формули
картографиране Jacobian. Понякога се използва генерализирана сферични координати.
Кубчета том V област T (кубичен орган) в пространството XYZ изразен с формулата
Минавайки през това равенство на нови променливи съгласно формули (6), ние получаваме израз на обема на поле Т в криволинейни координати
Нека T - материално тяло (кубчета площ) с плътност
Пример 1. Изчислява се обема на тялото, ограничена от повърхности: х 2 + Y + Z 2 2 = 2, 2 х 2 + у - брадва = 0 (фигура 5).
Решение. Помислете за една четвърт част на тялото, lezhaschoyu в първия ъгломер. Част от повърхността на рязане цилиндър е предназначен да. след това
Обръщаме се в неразделна част от цилиндрични координати съгласно (8). Уравнението на окръжност х? + Y? - брадва = 0 се трансформира в крива и уравнение на повърхността - поглед
където Т - областта, ограничена от повърхността
Решение. Обръщаме неразделна в сферични координати от формули (9). Тогава областта на интеграцията може да бъде определен от неравенствата