теория на ограничения

Теорията на граници - една от секциите на математическия анализ, който е един от силата на господаря, а други едва ли изчисляват граници. Въпросът за намиране на ограниченията е често срещано явление, защото има десетки начини на решения в рамките на различните видове. В същия срок може да бъде намерена и в правило L'болница, а без него. Това се случва, че графикът на редица безкрайно функция ви позволява бързо да получите желания резултат. Има набор от техники и трикове, които позволяват да се намери на границата на функцията на всяка сложно. В тази статия, ние се опитваме да разберем основните видове ограничения, които са най-често срещани в практиката. Теория и определянето на границата, ние няма да даде тук, много ресурси в Интернет, където се дъвчат. Ние затова практически изчисления, това е мястото, където и започва "аз не знам! Не мога да! Ние не учи!"

Пример 1. Виж границата на функцията
Lim ((х ^ 2-3 * х) / (2 * х + 5), х = 3).
Решение: Примерите в теорията на този вид обикновено се изчисляват чрез заместване

Ограничението е 18/11.
Нищо сложно и мъдър в такъв обхват, който не - заместени стойност, изчислена, записано в отговор на лимита. Въпреки това, въз основа на тези ограничения на всички учи, че на първо място трябва да се замени стойността на функцията. Усложнявайки границите, представи концепцията за безкрайността, несигурност и други подобни.

Пример 2. Виж граничната функцията
Lim ((х ^ 2 + 2х) / (4х ^ 2 + 3 х-4), х = безкрайност).
Решение: определяне на сроковете за полинома тип се дели на полинома, а променливата клони към безкрайност

А просто смяна на ценностите, на които не променлива ще бъде да се намери границата, неопределен безкрайността форма, разделено на безкрайност.
Pot теория граници изчисляване алгоритъм е да се намери границата на максимална степен "X" в числителя или знаменателя. Освен това, той опростява на числителя и знаменателя са на границата на

Тъй като стойността на нула като променливата те пренебрегва до безкрайност, или записани в крайния израз под формата на нули

Още от тази практика, можете да получите две заключения, които са довели в изчисленията. Ако променливата клони към безкрайност и степента на числителя на знаменателя по-голям след това ограничението е безкраен. В противен случай, ако знаменател полином от по-висш порядък от ограничението за числител е нула.
Гранични формули могат да бъдат записани като

Ако имаме нормална функция на формата на дневник без фракции след неговата граница е равна на безкрайност

Следващият вид ограничения се отнася до поведението на функции в близост до нула.

Пример 3. Намерете границата на функцията
Lim ((х ^ 2 + 3 х-5) / (х ^ 2 + х + 2), х = 0).
Решение: Вие вече правят се изисква старши полином множител. До Напротив, необходимо е да се намери най-ниската степен на числителя и знаменателя, и за изчисляване на границата

Стойността на х ^ 2; х клонят към нула, когато променливата клони към нула поради това се пренебрегва, така че ние да се

ограничението е 2.5.

Вече знаете как да се намери границата на тип полином, разделено на полинома, когато променливата клони към безкрайност или 0. Но това е само една малка и лека от примерите. От следния ще научите как да разкрие границите на неопределеността на функции.

Веднага Всички помним правилото, според което не може да се раздели на нула. Въпреки това, теорията на ограничения в този контекст означава безкрайно функция.
Помислете за няколко примера за яснота.

Пример 4. Намерете границата на функцията
Lim ((3 х ^ 2 + 10х + 7) / (х + 1), х = 1).
Решение: Когато е заместена в знаменателя на променливата х = -1 получи нула, ние получаваме същите в числителя. Така че ние имаме неопределен формата 0/0.
Сделка с тази несигурност просто: това е необходимо да се разложи полинома в фактори, а по-скоро се отдели фактор, който оказва функцията на нула.

След разпадането на граница на функцията може да се запише като

Това е цялата техника на изчисляване на границата на функция. Така че ние правим, ако има ограничение на полинома форма, разделено на полином.

Пример 5. Намерете границата на функцията
Lim ((2х ^ 2-7x + 6) / (3 х ^ 2x-10), х = 2).
Решение: шоута Директни заместване
2 * 4-7 * 2 + 6 = 0;
3 * 04.02.10 = 0
че имаме 0/0 несигурността тип.
Ние разделяме полиноми на kotorіy мултипликационен функция прави


Има учители, които преподават, че полиномите на ред 2, което е подобно на "квадратно уравнение" трябва да се решават чрез дискриминантата. Но истинската практика показва, че този дълъг и объркващ, така че да се отървете функции в рамките на посочения алгоритъм. По този начин функцията за запис като обикновен множител и ограничение vіchislyaem

Както можете да видите, нищо сложно при изчисляването на такива ограничения не го правят. Сподели полиноми в момента, в който са в състояние да изследва границите, поне според програмата трябва да има, за да мине през.
Сред задачите на несигурността от типа 0/0 са такива, че трябва да се прилага по отношение на формулите в съкратена умножение. Но ако не ги знаете, разделението на полином от мономен да получите правилната формула.

Пример 6. Виж границата на функцията
Lim ((х ^ 2-9) / (х-3), х = 3).
Решение: Ние имаме 0/0 несигурността тип. В числителя, ние използваме формула умножение Акроним

и се изчислява лимит nuzhnіy

Методът се прилага в границите на kotorіhneopredelennost генерират ирационално функции. В числителя или знаменателя става изчисляването на точка до нула и знае как да се намери границата.

Пример 7. Виж границата на функцията
Lim ((SQRT (х + 2) -sqrt (7х-10)) / (3 х-6), х = 2).
Решение: Представете си една променлива във формулата

Когато се получи несигурност тип заместване 0/0.
Според теорията на ограничения кръг за отклоняване на тази функция е да се размножават ирационални изрази в конюгат. Че изразът не доведоха до промяна в знаменателя се раздели с една и съща стойност

По-малките квадрати разлика правило ние опростяване на числителя и изчисляване на границата на функцията

Ние се опростят условията, които създават възможности в рамките на и изпълнение на заместване

Пример 8. Виж границата на функцията
Lim ((SQRT (х-2) -sqrt (2х-5)) / (3-х), х = 3).
Решение: Директен смяна видно, че срокът е сингулярност на формата 0/0.

За многократно разкриване и разделете на конюгата на числителя

Напиши разликата от квадратите

Опростяване на условията, които правят тази функция и да намерят границата на функцията

Изчисляване на сроковете в Maple

Този материал е полезно, особено за студенти. Може би в учебната програма, както и някои от тях за себе си учат математически програми, за да се улесни за обучение и тестване на решения. Тя може да бъде математически MathSad пакети Mathematica, Maple. Изчисляване на сроковете в Maple достатъчно просто да се организират дори начинаещ. Всичко, което е необходимо - правото да въведете функция в рамките на която.

Границата на първата функция на тези, които гледат Maple имат следната позиция. Хит края на "Enter" и да получите границите крайна стойност
> Граница ((х ^ 2 + 3 * х) / (2 * х + 5), х = 3);
18/11

Якост получи втора функция на записа

> Граница ((х ^ 2 + * 2 х) / (4 * х ^ 2 + 3 * х-4), х = безкрайност);
1/4

Третият пример е на следния вид:

> Граница ((х ^ 2 + 3 * х-5) / (х ^ 2 + х + 2), X = безкрайност);
1

Maple без проблеми е първият забележителен граница

> Limit (син (х) / х, х = 0);
1

и втори забележителна граница

> Граница ((1 + 1 / х) ^ х, х = безкрайност);
Exp (1).

Фрагмент изчисляване на сроковете на математически пакет Maple показани по-долу

С Maple лесно можете да намерите на лимита на логаритъм, тригонометрични, експоненциални и други функции.