Теорема Wyeth обратен теорема, формула Wyeth

Между корените и коефициентите на квадратно уравнение. освен корени формули съществуват други полезни съотношения, които са дадени теорема Wyeth. В тази статия ще дам формулиране и доказване на теорема Vieta за квадратно уравнение. Следваща смятаме, че теорията за обратна Vieta теорема. След това, ние анализираме решаването на най-характерните примери. И накрая, ние напише формулата на Vieta, определя комуникацията между истинските корени на алгебрични уравнения от степен н и неговите коефициенти.

Навигация в страниците.

теорема Vieta му, текстът на доказване

От формули корените на квадратното уравнение · х 2 + б · х + C = 0 видове. където D = б 2 -4 · на · С. поток съотношение x1 + х2 = Ь / а. x1 · х2 = с / а. Тези резултати са одобрени от теоремата Vieta.

Ако x1 и x2 - корените на квадратното уравнение · х 2 + б · х + С = 0. сумата на корените е равен на съотношението на коефициентите В и. взети с обратен знак, и продукта от корените е съотношението на коефициентите С, и. т.е..

Доказателство Wyeth теорема по следната схема: образуване на сумата и продукта от квадратни корени на уравнението използват известни формула корените, след това се трансформира в резултат на изразите, и проверява дали те са равни на Ь / а и с / с, съответно.

Нека започнем с корените на сумата от учредителното си. Сега дават на фракциите под общ знаменател, което имаме. Числителят на фракция, получена разкрие скобите. След това ние даваме тези условия. Накрая, след намаляване на част 2. получи. Това доказва, първата връзка Място теоремата за сумата от квадратни корени на уравнението. Ние се пристъпи към втория.

Ние трябва да е продукт на корените на квадратното уравнение. Съгласно принципите на размножаване на фракции, като последният продукт могат да бъдат написани като. Сега правя за умножение скобите на конзолата в числителя, но по-бързо ролката е продукт на формулата на разликата от квадратите. така. След това, спомняйки си определението на корен квадратен. Ние извършваме следната смяна. Тъй като дискриминантата на квадратното уравнение съответства на формула D = б 2 -4 · на · С. последната фракция може да бъде заместена на мястото на D б 2 -4 · на · С. Ние получаваме. След разширяване скоби и редуциращи условия, сходни стигаме до фракция. и намаляването му с 4 · а дава. Това доказва, втората връзка Wyeth теорема работи за корените.

Ако пропуснете обяснението, доказателството на теоремата ще Vieta сбита форма:
,
.

Остава да се отбележи само, че дискриминантата е нула квадратно уравнение има един корен. Въпреки това, ако приемем, че уравнението в този случай има две еднакви корен на уравнението на Теорема Wyeth да се случи. В действителност, когато D = 0 е корен на квадратното уравнение. след това. и тъй като D = 0. т.е., б 2 -4 · на · С = 0. където б 2 = 4 · на · С. след това.

На практика най-често се използва Wyeth теоремата прилага към даден квадратно уравнение (с водеща коефициент. Равно на 1) на формата х 2 + р · х + р = 0. Понякога е и да формулира квадратно уравнение е от тип, който не ограничава общия характер, тъй като всяко квадратно уравнение може да се замени с еквивалентен уравнението. подразделение на две части с различна от нула номер. Тук е уместно твърдението на теоремата на Място:

Сума понижено корените на квадратното уравнение х 2 + р · х + р = 0 е коефициентът на х. взети с обратен знак, и продукта от корените - свободен член, т.е. x1 + х2 = -р. x1 · х2 = р.

Теорема, обратен теоремата на Място

Вторият изложението на теоремата на Място, съдържаща се в предходния параграф, показва, че ако X 1 и X 2 са корените на горе квадратно уравнение х 2 + р · х + р = 0. След това x1 на отношенията + x2 = -p. x1 · х2 = р. От друга страна, от записаната съотношения X1 + х2 = -р. x1 · х2 = Q означава, че X1 и X2 са корените на квадратното уравнение х 2 + р · х + р = 0. С други думи, едно твърдение противоречи Vieta теорема. Ние го посочи като теорема и го докаже.

Ако номера X1 и X2, така че x1 + х2 = -р и x1 · х2 = р. на X1 и X2 са корените на горе квадратно уравнение х 2 + р · х + р = 0.

След смяна в уравнение 2 х + х · р + р = 0 коефициентите P и Q техните изрази по отношение на X1 и X2. се превръща в уравнение еквивалентен на 2 х - (х1 + х2) · х + x1 · х2 = 0.

Заместването в уравнението получава вместо х броя x1. x1 имат равенство 2 - (х1 + х2) · x1 + x1 · х2 = 0. които, когато всеки x1 и x2 представлява правилното числено равенство 0 = 0. тъй като x1 2 - (х1 + х2) x1 · х2 + x1 · x1 = 2 2 -Х1 -X2 · x1 + x1 · х2 = 0. Следователно, X1 - корен на х 2 - (х1 + х2) · х + x1 · х2 = 0. и следователно, X1 - корен и е еквивалентен на уравнение х 2 + р · х + р = 0.

Ако в уравнение 2 х - (х1 + х2) · х + x1 · х2 = 0 х броя на заместител х2. ние получаваме уравнението x2 2 - (х1 + х2) · х2 + x1 · х2 = 0. Това равенство е вярно, тъй като х2 2 - (х1 + х2) · х2 + x1 · х2 = 2 х 2 -Х1 · х2 -X2 2 + x1 · х2 = 0. Съответно, х2 и корен на х 2 - (х1 + х2) · х + x1 · х2 = 0. и поради това уравнение х 2 + р ° х + р = 0.

С това завършва доказателството на теоремата, обратната теорема на Vieta.

Примери за използване Wyeth теорема

Това е време да се говори за практическото прилагане на теоремата Vieta и неговата обратна на теоремата. В този раздел ще се анализира решението на някои от най-характерните примери.

Ще започнем с прилагането на теоремата на обратна теорема Wyeth. Той е удобен да се използва за проверка дали данните на двете корените на квадратното уравнение има предвид. Той изчислява сумата и разликата, след което проверява валидността на отношенията. Ако и двете от тези съотношения, тогава теоремата, обратен теоремата на Място, се заключава, че тези номера са корените на уравнението. Ако поне едно от условията не е изпълнено, а след това тези цифри не са корените на квадратното уравнение. Този подход може да се използва за решаване на квадратно уравнение, за да проверите намерени корените.

Кои двойки числа 1) Х1 = -5. х2 = 3. или 2). или 3) двойка от корените на квадратното уравнение 4 · х 2 -16 · х + 9 = 0.

Предварително определен коефициенти на квадратното уравнение 4 · х 2 -16 · х + 9 = 0 са = 4. б = -16. с = 9. Според теоремата на Място сума на квадратни корени на уравнението трябва да бъде равна Ь / а. т.е. 16/4 = 4. и корените на продукта трябва да бъдат равни на С / а. т.е., 9/4.

Сега се изчисли сумата и произведението от цифрите във всеки един от предварително определени двойки, и да ги сравните с наскоро получените стойности.

В първия случай имаме x1 + х2 = -5 + 3 = -2. Получената стойност е различна от 4 следователно допълнителна проверка не може да изпълнява както на теоремата, теорема обратна връзка Wyeth веднага се заключи, че първият брой двойка не е предварително определена двойка от корени на квадратно уравнение.

Ние се обръщаме към втория случай. Тук. т.е., първото условие е изпълнено. Проверяваме второто условие. Получената стойност е различна от 9/4. Следователно, втората двойка номера не е двойка от корени на квадратно уравнение.

Един последен случай. Тук. И двете условия са изпълнени, обаче, тези номера X1 и X2 са корените на квадратното уравнение дава.

Теорема, обратната теоремата на Място на практика да се използва за избор на корените на квадратно уравнение. Обикновено избрани корени целочислени дадени квадратно уравнение с цели коефициенти, тъй като е доста трудно да се направи в други случаи. В този случай, се използва факта, че ако сумата на две числа е равно на втори коефициент на квадратно уравнение, взета със знак минус, а произведението на тези числа е константа план, тези цифри са корените на квадратното уравнение. Занимаваме се с този пример.

Обърнете квадратно уравнение х 2 -5 · х + 6 = 0. На броя на х1 и х2 са корените на това уравнение трябва да се извършват от две уравнения x1 + х2 = 5 и x1 · х2 = 6. Остава да вземете такива номера. В този случай е достатъчно да се направи проста: такива числа са 2 и 3. Както 2 + 3 = 5 и 2 х 3 = 6. Така, 2 и 3 - корените на този квадратно уравнение.

Теорема, теорема обратен Wyeth особено удобно да се използва за намиране на по-горе втора основата на квадратното уравнение, когато е известно или очевидни един от корените. В този случай, на втория корен е от някоя от връзките.

Например, да квадратното уравнение 512 · х 2 -509 · х-3 = 0. Лесно е да се забележи, че устройството е корен на уравнението, като сумата от коефициентите на квадратното уравнение е нула. Така че, x1 = 1. Вторият корен X2 може да се намери, например, от връзка X1 · х2 = с / а. Имаме 1 · х2 = -3/512. където Х2 = -3/512. Така ние идентифицирахме две корените на квадратното уравнение: 1 и -3/512.

Разбираемо е, че изборът на корените е подходящо само в много прости случаи. В други случаи, търсенето на корените с формула може да се прилага чрез корените на квадратно уравнение дискриминантен.

Друг практическо приложение на теоремата, теорема Wyeth обратна връзка се състои в извършване на квадратни корени на уравнения, дадени от X1 и X2. Това е достатъчно, за да се изчисли сумата от корена, който дава на коефициента на х с обратен знак даден квадратно уравнение, и продуктът на корена, който дава постоянна план.

Напиши квадратно уравнение, чиито корени са числата -11 и 23.

Означаваме x1 = -11 и x2 = 23. Ние изчисляваме сумата и произведението на тези числа: x1 + x2 = 12 и x1 · x2 = -253. Следователно, тези номера са корените на квадратното уравнение редуцира до втори коефициент и константа -12 -253. Това означава, че х 2 -12 · х 253 = 0 - желания уравнение.

х 2 -12 · х-253 = 0.

теорема Vieta му често се използва при решаване на проблеми, свързани с признаците на корените на квадратно уравнение. Как теорема Wyeth свързани с признаци, дадени корените на квадратното уравнение х 2 + р · х + р = 0. Това са две свързани твърдения:

• Ако константа Q - и положително число, ако квадратното уравнение има реални корени, след или едновременно положителни или отрицателни двете.
• Ако свободния мандат Q - и отрицателно число, ако квадратното уравнение има реални корени, техните знаци са различни, с други думи, един корен е положителен, а другият - отрицателен.

Тези отчети са получени от формула X1 · х2 = р. както и правилата за умножение на положителни, отрицателни числа и цифри с различни знаци. Помислете примери за тяхното прилагане.

Независимо дали положителни корен на квадратното уравнение х 2 -64 · х-21 = 0.

Ако квадратно уравнение има две корени, а след това те не могат да бъдат едновременно положително, защото на теоремата Vieta, за които x1 на равенство · x2 = -21. което не е възможно с положителната x1 и x2.