Теорема 2 Wyeth

В математиката, има специални техники, които много квадратно уравнение се решават много бързо и без никакви Дискриминанта. Нещо повече, с подходящо обучение, много започват да се реши квадратно уравнение устно, буквално "от пръв поглед".

За съжаление, в днешна дата с училищните математика такива технологии е почти не е проучена. И за да го знаеш! Днес ще разгледаме един от следните методи - теорема на Vieta. За да започнете, ще се въведе нова дефиниция.

А квадратно уравнение на формата х 2 + BX + С = 0 се прилага. Имайте предвид, че коефициентът на х 2 е равно на 1. Няма други ограничения, наложени на коефициентите.

1. х 2 + 7 х + 12 = 0 - е дадена квадратно уравнение;
2. х 2 - 5 х + 6 = 0 - също се намалява;
3. 2 х 2 - 6 х + 8 = 0 - nifiga но не се прилага, тъй като коефициентът на 2 х е равно на 2.

Разбира се, всеки квадратно уравнение на форма ос на 2 + BX + С = 0 може да се прилага - достатъчно да споделят всички коефициенти на броя на. Винаги можем да го направят, тъй като определянето на квадратно уравнение, от това следва, че ≠ 0.

Въпреки това, не винаги тези трансформации ще бъдат полезни за намиране на корените. Точно под виждаме, че това трябва да се прави само когато крайната площад на горното уравнение, коефициентите са цели числа. В същото време, нека разгледаме един прост пример:

Задача. Конвертиране на квадратното уравнение даден в:

1. 3 х 2 - 12 х + 18 = 0;
2. -4 х 2 + 32 + 16 х = 0;
3. 1,5 х 2 + 7,5 х + 3 = 0;
4. 2 х 2 + 7 х - 11 = 0.

Разделете всеки уравнение с коефициента на променливата х 2. Ние се получи:

1. 3 х 2 - 12 х + 18 = 0 ⇒ х с 2 - 4, х + 6 = 0 - 3, разделена всички;
2. -4 х 2 + 32 + 16 х = 0 ⇒ х 2 - 8 х - 4 = 0 - разделена на -4;
3. 1,5 х 2 + 7,5 х + 3 = 0 ⇒ х 5 + 2 х + 2 = 0 - 1.5 разделен във всички съотношения стават числа;
4. 2 х 2 + х 7 - 11 = 0 ⇒ х 2 + 3,5 х 5,5 - = 0 - разделена на 2. В този случай, с частични коефициенти.

Както можете да видите, дадени квадратно уравнение може да има цели коефициенти, дори когато оригиналният уравнението съдържа фракция.

Ние сега се посочи основната теорема, за които, всъщност, представи концепцията на горната квадратно уравнение:

Място теорема. Да разгледаме даден квадратно уравнение на формата х 2 + BX + С = 0. Да приемем, че това уравнение има реални корени X 1 и X 2. В този случай, следните твърдения са верни:

1. х 1 + х 2 = - б. С други думи, намалява количеството на корените на квадратното уравнение е коефициентът на променливата х. взето с обратен знак;
2. х 1 · х 2 = С. Каталог на корените на квадратно уравнение е равна на свободно фактор.

Примери. За простота, ние смятаме, дава само квадратно уравнение, които не изискват допълнителни промени:

теорема Vieta ни дава повече информация за корените на квадратното уравнение. На пръв поглед това може да изглежда сложно, но дори и с минимално обучение се научите да "виждат" корените и буквално ги предполагам за секунди.

Задача. Решете квадратно уравнение:

1. х 2-9 х + 14 = 0;
2. х 2 - 12 х + 27 = 0;
3. 3 х 2 + х 33 + 30 = 0;
4. -7 х 2 + 77 х - 210 = 0.

Нека се опитаме да напишете коефициентите на теорема Vieta, а "Предполагам, че" корените:

1. х 2-9 х + 14 = 0 - е дадена квадратно уравнение.
   Чрез теорема Wyeth са: х 1 + х 2 = - (- 9) = 9; х 1 · х 2 = 14. Лесно е да се отбележи, че корените - номера 2 и 7;
2. х 2 - 12 х + 27 = 0 - също е намалена.
   Чрез теорема Wyeth: х 1 + х 2 = - (- 12) = 12; х 1 · х 2 = 27. Следователно корени: 3 и 9;
3. 3 х 2 + х 33 + 30 = 0 - Това уравнение не се намалява. Но ние ще го поправим сега, разделяща двете страни на уравнението по коефициент а = 3. получаване: х 2 + 11 х + 10 = 0.
   Решаването на теоремата на Wyeth: х 1 + х 2 = -11; х 1 · х 2 = 10 ⇒ корени: -10 и 1;
4. -7 х 2 + 77 х - 210 = 0 - отново коефициента на X 2 не е 1, т.е. уравнение не е дадено. Разделя се на броя на всички а = -7. Получават: х 2-11 х + 30 = 0.
   Чрез теорема Wyeth: х 1 + х 2 = - (- 11) = 11; х 1 · х 2 = 30; от тези уравнения са лесни за отгатване корените 5 и 6.

От горните разсъждения той показва как теоремата Wyeth опростява решаването на квадратно уравнение. Не са сложни изчисления, не аритметични корени и фракции. И дори дискриминантен (вж. Урок "Решение на квадратно уравнение"), то не е необходимо.

Разбира се, в краищата, ние започнахме да мислим за две важни предпоставки, които, най-общо казано, не винаги се извършва в реални проблеми:

1. Квадратно уравнение се прилага, т.е. коефициента на 2 х е 1;
2. Уравнението има два отделни корени. От гледна точка на алгебра, в този случай, дискриминантен D> 0 - в действителност, ние първоначално се предположи, че това неравенство е вярно.

Въпреки това, в типичните математически задачи, тези условия са изпълнени. Ако резултатът от изчисленията се обърна на "лошия" квадратно уравнение (коефициентът на х 2 е различен от 1), че е лесно да се определи - погледнете примерите в началото на урока. За корените не казват нищо, Какъв е проблемът, при които няма отговор? Разбира се, корените ще бъдат.

Така, общата структура на решаване на квадратно уравнение от теоремата на Място, както следва:

1. Намалена с квадратно уравнение има предвид, ако не е вече в проблема;
2. Ако коефициентите в горната квадратно уравнение обърнаха дробни, ние лекуваме чрез дискриминантен. Можете дори да се върнем към първоначалния уравнението, да се работи с "по-удобни" номера;
3. В случай на цели коефициенти чрез решаване теорема уравнение на Wyeth;
4. Ако в рамките на няколко секунди, той не успя да се отгатне корените, чукане на теоремата на Vieta и да реши през дискриминантен.

Задача. Решаване на уравнение: 5 х 2-35 х + 50 = 0.

Така че, ние имаме уравнение, което не се намалява, защото на коефициент = 5. разделение всички 5, ние получаваме: х 2 - х + 7 10 = 0.

Всички коефициентите на квадратно уравнение цяло число - се опитват да решат чрез Vieta теорема. Ние имаме: х 1 + х 2 = - (- 7) = 7; х 1 · х 2 = 10. В този случай, корените различават лесно - това е 2 и 5. Прочетете през дискриминантата не е необходимо.

Задача. Решаване на уравнение: -5 х 2 + 8 х - 2,4 = 0.

Виж: -5 х 2 + 8 х - 2,4 = 0 - Това уравнение не е определен, се разделят двете страни с коефициент на = -5. Получават: х 2 - 1,6 х + 0,48 = 0 - уравнение с частични коефициенти.

По-добре е да се върне в първоначалното уравнение и да поеме чрез дискриминантен: -5 х 2 + 8 х - 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 - 4 + (-5) + (-2,4) = 16 ⇒. ⇒ х 1 = 1,2; х 2 = 0.4.

Задача. Решаване на уравнението: 2 х 2 + 10 х - 600 = 0.

За да започне да се разделят всички коефициент = 2. Получават уравнението х 2 + 5 х - 300 = 0.

Това уравнение се дава от теоремата на Wyeth имаме: х 1 + х 2 = -5; х 1 · х 2 = -300. Познай корените в случай на квадратно уравнение е трудно - аз лично сериозно "замразени", когато реши този проблем.

Ще трябва да се търсят корените през дискриминантата: D = 5 с 2 - 4 · 1 · (-300) = 1225 = 35 2. Ако не си спомняте коренът на дискриминантата, само имайте предвид, че 25 = 49. 1225. Следователно, 1225 = 25 · 49 = 5 · 2 7 2 = 35 2.

Сега, когато коренът на дискриминантата е известно, за да се реши уравнението не е трудно. Получават: х 1 = 15; х 2 = -20.

• Безплатна Подготовка за изпита 7 прости, но много полезни уроци + домашна работа
•