Личен сайт - система от уравнения с две променливи

Системата от уравнения с две променливи. Уравненията на първа степен. начини за решаване на

Уравнението може да съдържа не една, а две променливи. Ясно е, че тези уравнения се наричат ​​уравнения с две променливи.

Системата от уравнения - две или повече уравнения, които могат да бъдат манипулирани, за да се намерят общи решения. Система от две уравнения Комисията и включват две променливи, стойностите на които са общи за двете уравнения. С една система от уравнения е решен още един, и в крайна сметка решава и двете уравнения система.

Методи за решаването на системата от уравнения от първа степен.

1. Решението по метода на замяната.

Долната линия е, че системата избира най-прости уравнения, в които една променлива се изразяват чрез друг. Заместник какво резултата във втората уравнението, като по този начин го превръщат в един прост уравнение с една променлива. Вие се изчисли това уравнение и да получите стойността на една променлива. Тя е заместена в първото уравнение и да получите стойността на втората променлива. Така че сте решили на цялата система от уравнения.

Пример. Ние се реши системата уравнения

│x + у = 1
│2x - у = 2

Първото уравнение е по-лесно на втората система - и да го използвате.
Ние го експресират в х от Y:

Ние замени тази стойност на х в нашата втора уравнение и намиране на стойността на Y:

Стигнахме до у. Ние го замени в първата ни уравнение и да намерят сега стойността на х:

Открихме стойностите на двете променливи.

2. Решението на метод на добавяне.

Този метод е подходящ да се прилага, ако добавянето на един от неизвестното изчезва.

Пример 1 Нека да се реши системата уравнения

Ние добавяме (изваждане) срок от план системата две уравнение:

Оповестяват скоби и в двете уравнения и да се намалят подобни термини. В резултат на това през първото уравнение изчезва при. Второ х. Ние получаваме уравнение с една променлива, която е по-лесно да се реши:

│ х + у + х - у = 6
│ х + у - х + у = 4

По желание, предизвикващи взаимен събиране и изваждане на две уравнения. Това е достатъчно често, за да се направи едно от следните две неща, за да се изчисли стойността на една от двете променливи. И да знае една променлива, ние сме в състояние да намери лесно втория.

Пример 2. За решаването на системата от уравнения

│2h + 4Y = 26
│8h + 4Y = 44

И в двете уравнения е номер 4Y. Следователно, можем да приложи метода на сумиране. В този случай, не се получи взаимно допълнение и изпълнява само едно действие: изважда вторият от първото уравнение на 4у изчезнал и че резултатът е уравнение с една променлива:

2x + 4Y - 8x - 4Y = 26-44.

Сега ние можем да намерим стойността на у. заместване на стойността на х в една от двете уравнения:

Отговор. х = 3, у = 5.

Въпреки това, нека разгледаме още един пример.

Пример 3: Да се ​​реши системата уравнения

│3h + 5Y = 21
│8h - 3Y = 7

Все още няма променливи със същите коефициенти, така че чрез изваждане те изчезнаха. Какво да правим в този случай? За такива случаи е измислил едно оригинално решение: termwise умножим първото уравнение с 3, а втората от 5. От тази истина не боли, защото ние просто се равнява на уравнението. Но благодарение на тази рецепция, ние ще имат една и съща променлива 15ф:

│ (3 + 5Y = 21) 3 ·
│ (8x - 3Y = 7) · 5

│3 · 3 · 3 + 5Y = 3 · 21
│5 · 8x - 3Y = 5 х 5 х 7

│9h = 15ф + 63
│40h - 15ф = 35

Така че имахме същите променливи, и можем да добавим двете уравнения, за да пристигнат в едно уравнение с една променлива:

9х + 40x + 15ф - 15ф = 63 + 35

Остава да се намери стойността на втората променлива, замествайки стойността на х. например, в първото уравнение:

Отговор. х = 2; у = 3.

Отново, ние не винаги трябва да конвертирате двете уравнения на системата, както е било в предишния пример. Той също така се случва, че е достатъчно да се промени само едно от уравненията.

Пример 4 Нека се реши системата уравнения:

│3h - 4Y = 7
│h + 3Y = 11

Тук достатъчно втория уравнение умножена по -3. Тогава ще получим число -3 Н и се стигне до едно уравнение, в една променлива, чрез добавяне на двете уравнения.
Така че, ние се размножават второто уравнение от -3:

Сега добавете двете уравнения, стигаме до едно уравнение с една променлива у и го реши:

И се намери стойността на х. По-лесно е да се направи през второто уравнение:

Отговор. х = 5; у = 2.

3. С решението от въвеждането на нова променлива.

Пример. Решете системата уравнения

Пред нас е система от сложни уравнения, сложни дробни числа. Нашата задача - да ги опрости, за да след това да реши. Ако приложите някоя от първите две методи ще получите още по-сложни уравнения. Но подходящ метод за въвеждане на нова променлива, чрез които можем да замени цяла ролка на една променлива. Как да го направя?

Моля, обърнете внимание: в първата от двете уравнения равни знаменатели Х - 3-годишни, с техните номератори, разделена на 2. Във втория брой е също еднакви знаменатели 2x + у, както и техните номератори, разделен на 3. Това ще използвате.

1) Ние пиша отново нашата система от уравнения на фактор на номератора на второто уравнение и да ги издържи в продължение на една малка част:

Сега, както уравненията имат точно същата първия изстрел и втория изстрел точно същото.

2) Замяна на тези фракции нов променливи а и б, както следва:

Така че ние значително опростява уравненията, които вземат по съвсем различен вид:

3) прилагане на метода познатия смяна.

Първото уравнение е по-лесно, така че най-напред да го изразяваме чрез и б:

Замени стойността, получена както в второто уравнение, ние разкрие тиранти подобни термини и изчисляване на цифровата стойност на Ь:

След като знаем, цифровата стойност на б. тогава ние можем лесно да се намери числената стойност на един. По-лесно е да се направи с първото уравнение:

Подходящ за част от тези стойности на А и В:

4) Да се ​​трансформират тези уравнения, известни ви управлява: оставен неизвестен, известен на правото:

│ х - 3Y = 2. 1
│2h + у = 3 1

│ х - 3Y 2 =
│2h + у = 3

5) решаване на тази система от уравнения отново чрез метода на смяна. За да изразите това по отношение на у в първата уравнение х:

Ние замести в второто уравнение и да намерите в:

И от първото уравнение намираме х:

Открихме стойностите на х и у в нашата оригинална система от уравнения - и след това да го реши.

Отговор. х = 7.11, у = -1/7

Както се вижда от този пример, има случаи, когато при решаването на системата уравнения трябва да бъдат прилагани последователно няколко метода.