Тройни интеграли - studopediya
3.1. Определяне на троен интеграл
Тройна неделима е пълна двойна неразделна аналог. Да предположим, че в триизмерна област (V) непрекъсната функция на три променливи.
Ние разделят региона (V) в произволен начин на п елементарни области (VI), (I = 1,2 ... п) без общи вътрешни точки, които са отбелязани с обем.
Ние избираме във всяка от произволна точка и формират неразделна сумата
Ние означаваме с # 955; най-големият диаметър на елементарните области (V1), (V2) .... (Vn) :. къде.
Ако лимитът когато неразделна сумата # 955; Ц 0 (п Ц ∞), който е независим от всеки метод на разделяне на областта (V) naelementarnye област и за избор на точки във всяка елементарна област, това ограничение се нарича тройна неразделна част от региона (V), и представляват функции:
Функцията в този случай се нарича интегрируеми в (V).
Забележка. Обект тройни интеграли напълно аналогични на свойствата на двойни интеграли.
3.2. Изчисляване на тройни интеграли
3.2.1. Изчисляване на троен интеграл в правоъгълни координати
Нека - непрекъснато в функция (V), (V) - част от пространството, ограничено от горната повърхност. и отдолу - повърхност.
Нека (D) - проекцията на (V) на равнината Oxy.
Граничната зона (D) «отгоре» е графика на функцията. "Дъното" - графика на функцията.
Проекция зона (D) на Ox ос е сегмент [а, Ь] (. Фигура 14)
Тогава ние имаме формулата:
Изчислете,
ако (V) - зоната, ограничена от равнините х = 0, у = 0, Z = 0, х + у + г = 1.
Разтвор пространство (V) е показан на фигура (15). следователно
По прости изчисления, можете да дойде отговорът.
Забележка. Ако. на
при което - регион обем (V).
3.2.2. Тройна неразделна в цилиндрични координати.
В цилиндрична координатна система, позицията на точка М на пространството, определено от полярните координати R и точка - точка М на проекцията върху равнината Oxy и applicate Z на точка М, т.е. (Фигура 15.).
Номерата R, # 966;, Z се нарича цилиндричните координатите на точка М.
При смяна на цилиндрична координатна система е равна на елемента обем. R Jacobian преход.
След следната формула
Пример Виж цилиндричен обем на височина Н и база радиус R. на
3.2.3. Тройна неразделна в сферични координати.
В сферична координатна система, позицията на точка М в пространството, определено от разстоянието R от точка М на координатната система, полярен ъгъл # 966; между положителната посока на оста Ox и проекцията на радиус вектор от точка М в равнината Oxy ъгъл и # 952; между положителната посока на оста Оз и радиус вектор от точка М (фиг. 18).
Номерата R, # 966;, # 952; наречени сферични координати на точка М.
При смяна на цилиндрична координатна система е равна на елемента обем. Jacobian на прехода.
След това по следната формула:
Пример Виж обема на сфера с радиус R.
Разтворът изобразяват топката в координатната система Oxyz (фиг. 20).