Сходството на триъгълници
Сходството на триъгълници
Теорема 44. Симптом 1. Ако две двойки страни на триъгълник са пропорционални, както и ъглите, сключени между тези страни са равни, то триъгълниците са подобни.
Доказателство. Нека А и Б страни на триъгълника ABC са пропорционални на страните и "и б" на триъгълник A'B'C ". Трансформация на триъгълника ABC е сходна с коефициент сходство к = а "/ а = Ь '/ б. След това отново в резултат триъгълник A''V "'S '' и триъгълника A'B'C" са два чифта равни страни и равни ъгли, сключени между тези страни. Триъгълниците A''V "'S" и A'B'C "са равни на основата на равенство на триъгълници, триъгълници са подобни на оригинала.
Теорема 45. Симптом 2. Ако трите страни на един триъгълник са пропорционални на трите страни на другия, тогава триъгълниците са подобни.
Доказателство. Един от триъгълници трансформира като толкова, че една от страните му да стане равна на съответната страна на друг триъгълник. След изравни три двойки страни, а вторият триъгълник ще бъде равна на преобразуваната; започващи триъгълници са сходни.
Теорема 46. Симптом 3. Ако двата ъгъла на триъгълника са равни на два ъгъла от друг, триъгълници са подобни (разбира се, това ще бъде равен и трети ъгли на триъгълници).
Доказателство. Трансформирайте един от триъгълници като, така че едната страна от него е станал равен на съответната страна на втория триъгълник. Сега се твърди, както в предишния.
Забележка. За правоъгълни триъгълници имат достатъчно на някое от следните условия:
Теорема 47. Ако данните за правоъгълни триъгълници равенство притежава един чифт остри ъгли, така че правилните триъгълници са сходни
Теорема 48. Ако има пропорционалност на данните крака за правоъгълни триъгълници, тези триъгълници са подобни правоъгълна
Теорема 49. Ако има пропорционалност на един чифт крака, и за правоъгълни триъгълници хипотенузата на данни, тези правоъгълни триъгълника са подобни
Периметри и сфери на подобни триъгълници.
Ако два триъгълника са подобни с коефициент сходство к. страните са във връзка с тяхната к. т.е.
Теорема 50. Периметрите подобни триъгълници са заинтересовани страни.
Когато такова превръщане фигура всички ъгли са запазени, линии се променят в същия брой пъти. Ето защо, височина Н на триъгълника при конвертиране хомотетия с коефициент к влиза в Височина H "на триъгълника. За района на триъгълника ще има
т.е. превръщането на сходство сектор, се умножава по квадрата на коефициента на сходство.
Теорема 51. Областите на подобни триъгълници (и като цяло всички стойности) са квадратите на техните линейни размери.
Теорема 52. (Ceva) Нека точките А1, В1 и С1 принадлежат към страните BC, AC и AB ABC триъгълник. Сегменти AA1, BB1 и CC1 се срещат в един момент, ако и само ако, когато
Доказателство: Първо се покаже, че ако сегментите се припокриват, съотношение на продукта е равно на 1. Остава О - точката на пресичане на сегменти AA1, BB1 и CC1. Равен права линия чрез А р, успоредно на линията BC (фиг. 43). Ние разшири сегменти ВВ1 и СС1 за точките В1 и С1 до пресечната точка с линия Q направо в точките В1 и С2 съответно. Тогава триъгълници BOA1 и B2OA подобни в двата ъгъла. Също така, подобни триъгълници и COA1 C2OA. Следователно СА1. А1В = С2А. AB2. Също така, подобни триъгълници и BB1C B2B1A, и следователно, В1А. В1С = АВ2. CB. Подобно ВС1: С1А = BC. AC2. Произведението на три получи равенство, получаваме:
Ние сега показват, че ако съотношението е равно на 1, тези сегменти се пресичат в една точка. Да предположим, че това не е така, и сегментите АА1 и ВВ1 отговарят на О. Чрез С и О директна точка. Нека тази линия пресича страна AB в точка К. В този случай, точките А1, В1 и К отговаря на тази връзка в това, е доказано по-горе. Но точките А1, В1 и С1 също отговарят на това съотношение. Така че, буква К, и С1 разделение AB страна в равни пропорции, т.е., те съвпадат. Но CK минава през точката O. Следователно, CC1 сегмент също минава през тази точка. Така че, сегменти AA1, BB1 и CC1 се срещат при О. QED. На теоремата се доказва.