Относно прилагането на теоремата Vieta за решаване на квадратно уравнение
В осми клас, учениците се запознават с квадратно уравнение и методи за решаването им. В същото време, опитът показва, че по-голямата част от учениците в решаването на квадратно уравнение пълно използване само един начин - формулата на квадратното корени уравнение. За ученици владеят уменията на устни разкази, този метод е ясно ирационално. Решете квадратно уравнение и студенти често имат в гимназията, а след това прекарват времето си на изчисляване на дискриминантата е просто жалко. По мое мнение, изучаването на квадратно уравнение, трябва да се даде повече време и внимание на използването на теоремата на Vieta (Програма AG Mordkovich Алгебра-8, само два часа за изучаване на темата "Теоремата на Vieta. На разлагане на квадратно полином в линейни фактори" е планирано).
В повечето учебници на алгебра, тази теорема е формулиран за намалената квадратното уравнение, което посочва, че ако уравнението има корени и равенства държат за тях. След това се формулира обратното на теорема Vieta и предлага редица примери за практикуване на тази тема.
Предприемане на конкретни примери и проследяване на решения за тях логиката на използване на Vieta теорема.
Пример 1. решаване на уравнението.
Да предположим, че това уравнение има корени, а именно, и. След това, от теорема Vieta, докато най-равенства
Имайте предвид, че произведението на корените - положително число. Това означава, че корените на същия знак. И тъй като сумата от корените също е положително число можем да заключим, че двете корените на уравнението - на положителното. Да се върнем към продукта на корените. Да предположим, че корените на уравнението - положителни числа. След това се прави е възможно първото равенство само по два начина (до реда на фактори): или. Проверка за двойки числа, предложени за осъществимост на второто твърдение Vieta :. Така числото 2 и 3 отговарят на двете уравнения, и следователно, са корените на предварително определено уравнение.
Основните етапи при решаването на горните съображения квадратно уравнение с помощта на теоремата на Wyeth:
Място запише изявлението на теоремата
(Първото уравнение се препоръчва да запише продукта на корените);- за определяне на признаците на корените на уравнението (ако продуктът и сумата от корените - положително, тогава двете корени - положително число, ако продуктът от корените -. положително число, и корените на сумата - отрицателен, тогава и корена -. отрицателно число, ако продуктът от корените - с отрицателна стойност, тогава корените са . в този случай, различни признаци, ако сумата от корените - е положителен, голям абсолютен основата на положително число, и ако сумата на корените е по-малка от нула, по-голям корен по модул - отрицателно число);
- вземете един чифт числа, чиято продукт дава право да е първото влизане уравнение (*);
- на намерени двойки на номера, за да изберете двойката че когато заместен във второто уравнение в записа (*) даде истинско равенство;
- посочи корените отговор намерен.
Ето още няколко примера.
Пример 2: решаване на уравнение.
Да - корените на даденото уравнение. След това, от Теорема Vieta Имайте предвид, че продуктът - положителен, и сумата от - отрицателно число. Следователно, както корена - отрицателни числа. Ние изберете двойката множители получаване на продукт 10 (-1 до -10, -5, и -2). Втората двойка от числа за общо -7. Следователно, броят на -2 и -5 са корените на уравнението.
Пример 3: решаване на уравнение.
Да - корените на даденото уравнение. След това, от Теорема Vieta Имайте предвид, че продуктът - отрицателна. Така че, корените - различен знак. корените на сумата - с отрицателна стойност. Следователно, по-голям корен модул - отрицателна. Ние изберете двойката множители получаване на продукт 10 (-10 и 1, 2 и 5). Втората двойка от числа за общо -3. Следователно, числото 2 и 5 са корените на уравнението.
Имайте предвид, че теоремата на Vieta по принцип може да се формулира за пълно квадратно уравнение: ако квадратното уравнение има корени и равенства държат за тях. Въпреки това, използването на тази теорема е много проблематично, тъй като пълното квадратно уравнение съгласно поне една от корените (ако има, разбира се) е фракционна номер. И да работят дълго и упорито, с избора на фракции. И все пак, има решение.
Помислете за пълно квадратно уравнение. Умножете двете страни с първи коефициент на и напишете уравнението като. Въвеждаме нова променлива и да се получи квадратно уравнение, корените от които (ако има такива) могат да бъдат намерени на теоремата Vieta. След това корените на оригиналното уравнение ще бъде. Имайте предвид, че помощният пиши по-горе уравнение е много проста: на втория коефициент се съхранява и третият фактор е равен на произведението от ав. В някои ученици умения директно представляват спомагателна уравнението намерят корените на теоремата на Wyeth и посочи корени предварително определени пълна уравнение. Ето някои примери.
Пример 4. решаване на уравнение.
Ние образуват спомагателен уравнение и Vieta теорема, ние откриваме своите корени. Това означава, че корените на първоначалното уравнение.
Пример 5 решаване на уравнение.
Спомагателни уравнение има формата. Място теоремата за своите корени. Ние намираме корените на оригиналното уравнение.
И още един случай, когато прилагането на теоремата Vieta позволява вербално да открие корените на квадратно уравнение пълна. Лесно е да се докаже, че числото 1 е корен на уравнението единствено и само ако. Вторият се намира в основата на теоремата на Wyeth и равни. Друг изявление: че броят -1 е корен на уравнението е необходимо и достатъчно. След втория корен на уравнението е теоремата Vieta. Подобни изявления могат да бъдат формулирани за горе квадратно уравнение.
Пример 6. решаване на уравнение.
Имайте предвид, че сумата от коефициентите на уравнението е нула. Така че корените на уравнението.
Пример 7. решаване на уравнение.
За коефициентите на това уравнение има свойството (наистина, 1 - (- 999) + (- 1000) = 0). Така че корените на уравнението.
Примери за използване на теорема Wyeth
Задача 1. Решете дадено квадратно уравнение с помощта Vieta теорема.