Личен сайт - Теорема на Vieta
теорема на Vieta
Сумата от корените на квадратно уравнение се редуцира до втория коефициента с обратен знак, и продукта от корените е равна на постоянен план.
(Изземване: дадено квадратно уравнение - това уравнение, където първият фактор е 1).
Нека квадратно уравнение ос 2 + BX + С = 0 има корени X1 и X2. След това, от теорема Vieta на:
Горното уравнение х 2 - 7х + 10 = 0 има корени 2 и 5.
корени сума е 7, и продуктът е 10.
В това уравнение, вторият коефициентът е -7 и безплатен член 10.
Така сумата от корените е равен на втория коефициент с обратен знак, а продукт на корените - свободен член.
Доста често квадратно уравнение, които лесно могат да бъдат изчислени с помощта на теоремата на Wyeth - повече от това, че може да им помогне да се изчисли по-лесно. Това е лесно да се види, както в предишния пример, и по-следващата.
Пример 2. решаване на квадратно уравнение х 2 - 2х - 24 = 0.
Нанесете Vieta теорема и пишат две идентичности:
Ние избираме тези фактори до -24, че тяхната сума е равна на 2. След известно отражение откриваме: 6 и -4. Проверка:
Както можете да видите, на практика, същността на теоремата Vieta се крие във факта, че в по-горе квадратно уравнение постоянен план разшири до такива фактори, размерът на която е равна на втората коефициент с protivoplozhnym знак. Тези фактори, както и ще се върне.
Така че, нашите корени на квадратно уравнение са 6 и -4.
ПРИМЕР 3 Нека решаване на квадратно уравнение 3 2 + 2-5 = 0.
Тук ние не се занимаваме с над квадратното уравнение. Но тези уравнения също могат да бъдат решени с помощта на теоремата на Vieta, ако съотношенията им са балансирани - например, ако сумата от първия и третия коефициенти равни на втората с обратен знак.
Коефициентите на уравнението балансиран: сумата от първата и третата условията са равни на второ място с обратен знак:
В съответствие с теоремата Wyeth
Ние трябва да намерите две числа, чиято сума е равна на -2/3, -5/3 и продукта. Тези номера ще бъдат корени на уравнението.
Първият номер се предположи полето: е 1. За х = 1, уравнението се редуцира до проста събиране, изваждане:
3 + 2-5 = 0. Как да намерите в основата на втората?
Ние представляваме 1 под формата на 3/3, че всички числа имат един и същ знаменател: това е по-лесно. Веднага моли по-нататъшни действия. Ако x1 = 3/3, тогава:
Ние решаваме просто уравнение:
Пример 4 За решаване на квадратно уравнение 7х 2 - 6x - 1 = 0.
Един корен е намерена наведнъж - тя просто хваща окото: x1 = 1 (защото се оказва, проста аритметика: 7 - 6 - 1 = 0).
Коефициентите на уравнението балансирани: сумата от първата и третата са равни на второ място с обратен знак:
7 + (- 1) = 6.
В съответствие с теоремата Wyeth композира две идентичности (въпреки че в този случай само един от тях):
Заместник стойността на x1 в нито един от тези два израза, ние откриваме, x2:
В дискриминантата на горе квадратно уравнение.
В дискриминантата на горе квадратно уравнение може да бъде изчислена като общата формула и по-опростена:
където р - втората коефициент на квадратното уравнение, Q - константа.