Какво представлява производната

Производни - основни понятия на математическия анализ. Тя характеризира промяната в предназначението на х в някакъв момент. В този случай самата производно е функция на аргумент х

Производно на функция в точка е границата (ако съществува и е ограничен) съотношение на функцията на нарастване на нарастване на аргумента, при условие, че последният клони към нула.

Най-често използвани следните означения на производното:

Пример 1 използвайки определението на производно. намерите производно на функцията

Решение. От дефиницията на производната следва следната схема за неговото изчисляване.

Нека да даде аргумент прираст (делта) и намираме нарастването на функцията:

Ние считаме, съотношението на функцията за увеличение на нарастване на аргумента:

Изчисляваме граница на това съотношение при условие, че нарастването на аргумента клони към нула, т.е., до желаното производно на:

На понятието производна ГАЛИЛЕО за изучаване на правото на свободно падане на телата, а в по-широк смисъл - проблема с моментната скорост на неравен праволинейно движение на точка.

Нека камъкът се повишава и след освободен от почивка. Път с. пътува във времето т. е функция на времето, т.е. S = S (T). Ако сте задали точката на закона за движение, то е възможно да се определи средната скорост за какъв период от време. Да предположим, че по време на камъка е в позиция А. и в момента - в позиция В. За периода от време (т нагоре) точка е изчезнал. Ето защо, средната скорост през това време, че obznachim чрез е

Въпреки това, движението на свободно падане на тялото е ясно неравномерно. скорост V на честота се увеличава. Това означава, че средната скорост, вече не е достатъчно, за да се опише със скоростта на движение на различните участъци на пътя. Такава характеристика по-точна, отколкото по-малко количество време. Следователно, след понятието се въвежда: моментната скорост на праволинейно движение (или скорост в даден момент т) е границата на средна скорост:

(При условие, че съществува този лимит и е ограничен).

Така obrazzom граница моментната скорост на съотношението е функцията нарастване и (т) до т нарастване с аргумента Това е производно, което в общи линии се изписва като:.

Решението бе отбелязана Проблемът е физичния смисъл на деривата. По този начин, производно на функция у = F (х) в точка х е границата (ако съществува и е ограничен) увеличение функция за увеличение на аргумента, при условие, че последният клони към нула.

Пример 2. Виж производното на функцията

Решение. От дефиницията на производно дава следния график за изчисленията.

Стъпка 1: Да дадем нарастването на аргумента и да намерят

Стъпка 2. Намираме нарастването на функцията:

Стъпка 3. Да се ​​намери отношението на нарастване на функцията на нарастване на аргумента:

Стъпка 4. Изчисляваме граница на това съотношение в, т.е. производно:

Нека функцията определя на интервала, и нека точка М на графиката на функция съответства на стойността на аргумента, и точка Р - стойност. Начертайте чрез точки М и Р линия и ние ще го наричаме среза. Означаваме ъгълът между разреза и оста. Ясно е, че това зависи от ъгъла.

След това една права линия с наклон

минаваща през точката, наречен ограничаване позиция в пресичащи MR (или използването).

Допирателна към графиката на функцията в крайно положение М е пресичане с MR, или, в същото.

От определението следва, че тангента на съществуване достатъчно, че има лимит

Освен ограничи равен на ъгъла на наклона на допирателната към оста.

Ние сега се даде точна дефиниция на допирателната.

Допирателна към графиката на функцията в точката се нарича линия, минаваща през точка и има наклон, т.е. права линия, чиято уравнение

От тази дефиниция следва, че функцията производно е равен на наклона на допирателната към графиката на функцията в точката с абсциса х. Това е геометричното значение на производно. По този начин,

където - ъгълът на наклона на допирателната към абсцисата, т.е. наклон на допирателната.

Пример 3. Виж производното на функцията и стойността на това производно на.

Решение. Ние използваме схемата, дадена в Пример 1.

Изразът под знака за ограничение не е определен (0/0 тип несигурност), така че се трансформира чрез премахване на ирационалност в числителя и след това намаляване на фракцията:

Нека да се намери стойността на деривата на адрес: