Как да се изчисли троен интеграл

§ 12. Изчисляване на тройни интеграли

Да приемем, че (триизмерни) областта пространствен V, ограничена от затворена повърхност S, има следните свойства:

.. 1) всяка линия, паралелна на оста изтегля през вътрешен (т.е. не лежи на граничната S) V региона на точка S пресича повърхността на две точки;

2) цялата площ V се проектира върху XY равнина в правилната (двумерен) зона

3) всяка част на област V, отрязани от равнина, успоредна на всяка от координатните равнини има свойствата 1) и 2).

Регионът на V, с този имот, ние ще се обадя на правилната триизмерна района.

правилни триизмерни региони са, например, елипсоид, правоъгълен паралелепипед, Tetrahedron, и така нататък. G. Пример неправилна триизмерна регион е дадено на фиг. 332. В този раздел ще се спрем само на правилните места.

Нека повърхността гранична област V дъно има уравнението и повърхността гранична тази област от по-горе, има уравнението.

Ние въведе концепцията на тройната интеграла над област V от функция на трите променливи, определени и непрекъснато в областта V. приемем, че област D - проекцията на V върху равнината - е ограничена от линии

След това, трикратен интеграл на функцията на област V

Имайте предвид, че в резултат на интеграцията чрез заместване и границите на свръзките получите функция на х и у. Освен това, изчислена двойно интеграл на тази функция през зона D, както е обсъдено по-горе.

Ето един пример за изчисляване на троен интеграл от областта V. Пример 1. Оценка на троен интеграл на функцията на V област, ограничена от равнини

Решение. Тази област е правилна, се ограничава от горната и долната равнини и се проектира върху XY равнина под прав плосък участък D, която е ограничена от триъгълник права Следователно тройна неразделна изчислява както следва:

Ограничаването на тази двойна неразделна над област D, Получаване

Нека сега разгледаме някои свойства на троен интеграл. Property 1. Ако V област разделена на две области от равнина, успоредна на равнината на координати, за три времеви интеграл над поле V е сумата от площите на тройни интеграли.

Доказването на това имущество се извършва по абсолютно същия начин, както и доказателство за съответните свойства на двойни интеграли. Ето защо не е необходимо тя да се повтаря отново.

Следствие. Когато всички дял V регион домейни в краен брой равнини, успоредни на координатните равнини, равенството

Property 2 (Теорема Оценка на троен интеграл). Ако М - съответно най-малките и най-големите стойности на функцията на област V, следното неравенство притежава: където V е обемът на техниката троен интеграл на функцията над област V.

Доказателство. Ние първите оценки - вътрешната неразделна

в троен интеграл

По този начин, вътрешният интеграл не надвишава изразяването

По този начин, от една теорема § за двойни интеграли ние получаваме (обозначаващ от D V област на проекцията на самолета

Но последните две време неразделна равна на два пъти интеграла на функцията следователно е равен на обема на региона, който е затворен между повърхностите R. Е. том зона V. Следователно,

По подобен начин се оказва, че този начин, собственост 2 е доказано.

Property 3 (средна стойност теорема). Три време интеграл на непрекъсната функция над област V е продукт на обем стойност на функцията в някакъв момент P област V, т.

Доказването на това имущество се извършва по същия начин, както е доказателството свойства, подобни на двойния интеграл (вж. § 2 имота 3, уравнение (4)). Сега можем да се докаже теоремата на vychislenyi троен интеграл.

Теорема. Тройна интеграл на функцията на правилното V регион е равна на три пъти неразделна през същия поле т. Е.

Доказателство. Ние разделяме V равнини на домейни, успоредни на координатната равнина върху важните области: Както по-горе, се обозначи трикратния интеграл от функцията на област V и трикратен неразделна от тази функция над региона след това въз основа на разследването на имотите Мога да напиша равенство

Всеки един от термините от дясната страна на това уравнение, ние трансформираме формула (2):

където - област точка

От дясната страна на това равенство е неразделна сума. По предположение, функцията е непрекъсната в зона V, и следователно се ограничи количеството че клони към нула и има най-големия диаметър е равен на троен интеграл на функцията на поле V. Така, като ограничението в уравнението (4), получаваме

или най-накрая, като замените стои отдясно и отляво на изразяването,

Тук уравненията на повърхностите, ограничаващи правилния V района на горната и долната част. Линии ограничават зона D, която е проекция зона V на на XY равнина.

Забележка. Подобно на начина, това е в случай на двойно неразделна, троен интеграл може да направи друга цел на интеграцията на променливите, а другият отвън, освен ако, разбира се, тя позволява на формата на V.

Изчисляване на обема на тялото, като се използва троен интеграл. Ако подинтегрален

тройната интеграла над област V изразява обема на област V:

Пример 2. Изчислява се обема на елипсоид

Решение. (. Фигура 335) елипсоид се ограничава по-долу и на горната повърхност - проекция на повърхността на елипсоида в равнината Oxy (Район D) е елипса - Следователно, намаляване на обема на изчисление за изчисляване на тройната интеграл, получаваме

При изчисляване на вътрешната интеграл се счита за постоянно. направи замяната

Променливата у се променя така променя от преди. Заместването на интеграл от новите ограничения, получаваме

Ако мога да получа на обема на сфера: