Как да се изчисли граници на функции
§ 20. Limit функция
203. граница функция у = F (X) в х-> OO.
Хоризонтална асимптота. В брой В се нарича граница функция като, ако всичко, което е взето на броя, има редица така че за всички неравенството. Напиши :.
Геометрично, това означава, че функцията на график за избор на достатъчно голяма стойност безкрайно подходи права линия, т.е.. Е. разстоянието от точката на графика за насочване на далеч точка до безкрайност може да бъде направен по-малък от всеки от Direct наречен в този случай хоризонтално асимптота на графиката на у = е
Вземете за пример функцията за тази функция, което имаме. Имайте предвид, че "по-голямата избраната стойност на аргумента, толкова по-различен от нула стойността на функцията, а това
Разликата може да се направи по-малък от която и да е положително число е. да кажа. Това се потвърждава и геометрично: правата линия е хоризонтална асимптота на графиката на функцията (фиг Direct може да бъде хоризонтална асимптота на графиката на функцията и избора на достатъчно голям модул, но отрицателни стойности на аргумента (Фигура 97) След това казват, че редица В е ограничение функция, както и .. написа: За пример,
Накрая, линията може да бъде хоризонтална асимптота на графиката на функцията, и когато и кога. Например, един прав хоризонтален асимптота на графиката на функцията. В този случай казваме, че редица б е граничната функция в преследване на и пишат :. Така че, вярно равенството
В брой В се нарича граница функция като
ако всичко, което е взето на броя, има редица така че за всички неравенството
В брой В се нарича граница на функцията в опит да бъде броят вземем, има няколко такива, че за всички, така че неравенството.
Знаейки граница функция в хоризонтална асимптота може да се конструира крива (ако граница е 6, хоризонталната асимптота); Обратно: ако знаем хоризонталната асимптота на графиката на функция, може да се заключи, поради ограниченото си - хоризонтална асимптота, а след това
204. граници Намиране като х-> OO.
За да се изчисли границите на функции, когато се използва следната теорема за дейността на външната:
Пример 1. Изчислете
Решение. Разделяне на числителя и знаменателя на срока от срок да се получи допълнителна
Тъй (вж. Стр 203), след това с помощта на теореми получат.
Пример 2. Виж хоризонталната асимптота на графиката, когато.
Решение. , Е необходимо да се изчисли границата на функцията за намиране на хоризонталната асимптота при. имаме
Следователно, хоризонталната асимптота на графиката на функцията.
205. Границата на функция в точка. Непрекъснатост.
Имайте предвид, че графични функции са показани на фигура 100. Това е различна функция, те се различават по тяхното поведение в точката Ако и в трите случая ние се отбележи, че, колкото по-близо, толкова по-малка от стойността на функцията или различни, или броят на б - тази разлика се характеризира с израза, съответно. За нито една от функциите на въпросните се казва, че границата на функцията клони към една е б; пиша, съответно:
Ще подчертая още веднъж, че тази стойност функция на мястото, както и (и дори съществуването или несъществуването на тази стойност) не е взето под внимание.
Определяне формулиран по следния начин: на номер Б, се нарича границата на функцията клони към една, ако, независимо от броя е взето, за всички достатъчно близо до стойност, която е за всички от квартала, на една точка може би с изключение може би, това много точка .. на неравенството
Нека се върнем отново на фигура 100. Трябва да отбележим, че функцията, чиято графика е показан на фигура 100 и равенството Ако функцията се нарича непрекъсната в.
Ако функцията е непрекъсната във всяка точка на интервала, след това се казва, че е непрекъсната в този интервал. Ако непрекъсната функция, определена на интервал в точки А и В и точката на аспирация интервал на точките А и В стойности съответно са склонни да стойности на функцията наречени непрекъснато върху интервала
206. Вертикалният асимптота.
Графика на функцията е показано на фигура 101, и е със следните характеристики: независимо от броя вземем, можете да намерите в самостоятелен комплекс от такава, че за някой от този квартал, съответстваща съгласува графични мод ще бъде по-, че е ... Казват, че линията е вертикалното асимптота на графиката на функцията и пиши: Например, графиката на функцията има вертикална асимптота и хоризонтална асимптота у = 0. (Фигура 101, б); функция графика има вертикална асимптота); функция диаграма има вертикални асимптоти и т. г.
Ако на мястото на непрекъсната функция, prichemr, вертикалната асимптота на графиката на функцията
Например, графиката на функцията има две вертикални асимптоти: посочените стойности на знаменател е нула.
207. Оценка на границите на функцията на.
За да се изчисли границите на функциите на основните от които са следните факти:
1) всеки елементарен функция т. Е. функция определено аналитично рационално (вж. Стр 48), ирационално (вж. Стр 48), трансцендентално (вж. Стр 118) експресия или експресия състои от следните посредством ограничен брой аритметични операции, непрекъсната във всяка точка вътре в областта на функцията (т.е., във всеки един момент, принадлежащ към областта на функцията, заедно с някои от съседните й страни ..); Ако вътрешна точка на домен на сложна функция и съставният функция е непрекъсната в точката;
2) ако функцията е непрекъсната в
Пример 1. Изчислете.
Решение. Точката на вътрешна точка на домейна на функцията означава, че функцията е непрекъсната
в този момент. Така че ние имаме, Пример 2. Изчисли
Решение. Функцията е непрекъсната в. В момента има:
Пример 3. Изчисли
Решение. Не е дефинирана функция на мястото, тъй като в този момент знаменателят е нула. Тъй като за числител е различна от нула в точката, а след това напишете: (виж стр 206 ..); линия е вертикалното асимптота на графиката на функцията
Пример 4. Изчисли
Решение. Тук, за разлика от предишния пример, както в числителя и в знаменателя е равна на 0 при. В тези случаи срокът за изчисляване на необходимата идентичност трансформации изразът определяне на функцията.
Тъй като, когато имат стойност на функцията на мястото не се взема под внимание (вж. Стр 205), фракцията може да се редуцира до получаване. По този начин,
Пример 5. Изчисли
Решение. Когато и двете на числителя и знаменателя на жалбата
нула. Изпълнете следните преобразувания на израза: