Изчисляването на троен интеграл

Нека наричаме ограничена затворена област $ \ mathbf> \ textbf $, ако са изпълнени две условия. проекция на $ \ mathbf> $ за всяка координатна равнина, например, върху равнина $ \ mathbf> $ - просто домейн $ \ mathbf> $, както и всички права линия, перпендикулярна на тази равнина и минаваща през интериора точка на $ \ mathbf> $, кръстове гранични $ \ mathbf> $ в две точки. Такава домейн може да се опише както следва: $ V = \ наляво (\ дясно) $ повърхност $ Z = \ ИОС _1 (х, у) $ е оформен от множество ниски пресечните точки на успоредна на линията на оста $ \ mathbf> $, с граница $ \ mathbf > $; повърхност $ Z = \ ИОС _2 (х, у) $ - множество горни пресечните точки).

$ \ Textbf $ тази теорема може да бъде, тъй като сме доказали, теоремата за прехода от двойния интеграл повторното: да се установи, че за повторен анализ, неразделна от дясната страна формули притежават всички свойства на интеграла, разделете област $ \ mathbf> $ на поддомейн $ \ mathbf> _ (\ mathbf> = 1,2 ,, \ mathbf>) $, използвам свойствата на добавка и теоремата на средна стойност, представи отново неразделна като неразделна сума за тройната $ \ ляво (^ п> \ дясно) $ и преминете на границата като $ г = \ mathop \ limits_ диаметър (V_i) \ до 0 $.

Ако боядисате двойно интеграл за простите полеви $ \ mathbf> \\ \ varphi _1 (х) \ leqslant у \ leqslant \ varphi _2 (х) \\ \ край> \ десен четириядрен \ ляв (а \ leqslant х \ leqslant б \ .> \ полето]> \ дясно) $ под формата на повторно се получи още по-подробно формула за изчисляване на тройна неразделна: $ \ iiint \ limits_V = \ iint \ limits_D ^> = \ Int \ limits_a ^ б ^^ >> $.

Можете също така да докаже, че тройната интеграл може да се представи под формата на повторно интегриране с други процедури. Ще означаваме $ z_ = \ mathop \ limits_, \; z_ = \ mathop \ limits_ $ т.е. минималните и максималните стойности на координатите на точките за площ $ \ mathbf>) $ на, $ D_z $ - плосък участък, получени чрез рязане $ \ mathbf> $ равнина $ на \ mathbf> $ = конст. Тогава $ \ iiint \ limits_V = \ вътр \ граници _> ^ >> dxdy $. Разбира се, за определена задача, може да е за предпочитане да се изработи $ \ mathbf> $ не е на самолет $ \ mathbf> $, но от друга координатна равнина.

Примери за решаване на проблеми

Изчисляваме по същия интеграл за други формули за прехода към повторен неразделна: $ I = \ вътр \ limits_0 ^ ч> = \ вътр \ limits_0 ^ ч> = \ вътр \ limits_0 ^ ч> = \ вътр \ limits_0 ^ з = $ вътрешен двоен интеграл - интеграла на функцията равно на 1, така че да е равна на площта на кръга, в резултат от намаляване на конус равнина $ Z = конст $, уравнение очертаващ кръг, площ $ S (D_z) = \ Frac) = \ Int \ limits_0 ^ з DZ> = \ Фрак \ cdot \ напусна> \ прав. | _0 ^ з = \ Фрак $.

Това решение се оказа по-лесно; Играхме на факта, че подинтегрален не зависи от $ \ mathbf> $ и $ \ mathbf> $.

Вижте също:

Инвариантна определение на разминаване

Примери за използване на цилиндрични и сферични координати

Дефиниция на двоен интеграл

И при двустранна повърхност. повърхност ориентация

Напред към съдържанието на $ \ стрелкаНадясно \ стрелкаНадясно \ стрелкаНадясно $