Изчисляването на троен интеграл 1

Лекция 9.Vychislenie троен интеграл. Криволинеен координатна система. Jacobian и геометричния му значение. Промяна на променливи в тройни интеграли. Преходът към цилиндричните и сферични координати тройна неразделна.

Процедурата е подобна на троен интеграл операцията по изчислителна съответстваща на двоен интеграл. За да го опиша, ще се въведе концепцията за правилното триизмерен домейн:

Определение 9.1. Триизмерното регион V, ограничена от затворена повърхност S, се нарича редовно, ако:

1. Всяка линия, паралелна на оста Оз и изготвен чрез вътрешна точка зона S пресича в две точки;
2. цялата площ V се проектира върху XY равнина в редовен двумерен област D;
3. Всяка част на област V, отделена от нейната равнина, успоредна на всеки от координира равнини, има свойствата 1) и 2).

Да разгледаме редовно област V, ограничена от горната и долната повърхности Z = χ (х, у) и Z = ψ (х, у) и се проектира върху XY равнина в дясната зона Г, в която X варира от А до В, ограничена от кривите у = φ1 (х) и у = φ2 (х) (фигура 1). Ние дефинираме в V непрекъсната функция е (х, Y, Z).

Определение 9.2. Ние казваме, че троен интеграл на F функция (X, Y, Z) V региона на израз на формата:

Трикратният неразделна има същите характеристики като тези на двойно. Ние ги изброим, без доказателство, тъй като се оказа по подобен случай на двойна неразделна.

1. Ако V област разделен на две части V1 и V2 равнина, успоредна на всеки от координира равнини, три време неразделна над област V е сумата на интегралите на трикратни V1 и V2 домени.
2. Ако m и М - съответно най-малките и най-големите стойности на F функция (X, Y, Z) на област V, неравенството. тУ ≤ IV ≤ MV, където V - обем на техниката, и IV - тройна неразделна на функцията F (X, Y, Z) на област V.
3. IV троен интеграл на непрекъсната функция е (х, Y, Z) в продължение на област V е продукт на неговия обем V на стойността на функцията в някакъв момент P област V: (9.2)

Изчисляването на троен интеграл.

Теорема 9.1. Тройна интеграл на F функция (X, Y, Z) на дясната зона V е равен на три пъти интеграла над същата област:

Разделете домейн V равнини, успоредни на координатните равнини за правилните н региони. След това следва, че от 1

,

при което - тройната интеграл от F функция (X, Y, Z) на полето.

Използване формула (9.2), предишната уравнение може да бъде презаписано, както следва:

.

От F състоянието непрекъснатост функция (X, Y, Z) следва, че границата на интеграла на сумата от дясната страна на това уравнение, и има тройна неразделна. След това преминава към границата, получаваме:

QED.

Подобно на случая с двоен интеграл може да се покаже, че промяната в реда на интеграция не се променя стойността на троен интеграл.

Пример. Изчислете неразделна където V - триъгълна пирамида с върховете на точките (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1). Неговата проекция на XY равнина е триъгълника с върхове (0, 0), (1, 0) и (0, 1). Долната област е ограничена от равнина, Z = 0, и отгоре - равнината х + у + г = 1. Ние сега се обърнем към трикратно неразделна:

Факторите, които не зависят от променливата на интеграция, Бани, могат да бъдат предприети в знак на съответния интеграл:

Криволонейният координатна система в триизмерното пространство.

1. Цилиндрична координатна система.

Цилиндрични координатите на точка Р (ρ, φ, Z) - е полярни координати ρ, φ проекцията на тази точка върху равнина окси и applicate дадена точка Z (Фиг.2).

Формули за прехода от цилиндрична да декартови координати могат да бъдат определени, както следва:

х = ρ cosφ, у = ρ sinφ, Z = Z. (9.4)

1. Сферичната координатна система.

В сферична координира позицията на точка в пространството определя от линейни координира ρ - разстояние от точка до началото на декартовата координатна система (или сферични полюси система), φ - полярен ъгъл между положителния половината оста Ox и точка проекция на XY равнина, и θ - ъгъл между положителните ос полуосите Оз и ОП сегмент (фиг.3). В този случай,

Ние дефинираме формули за прехода от сферична към декартови координати:

х = ρ sinθ cosφ, у = ρ sinθ sinφ, Z = ρ cosθ. (9.5)

Jacobian и геометричния му значение.

Помислете за най-общия случай на замяна на променливите в двойна неразделна. Нека в равнината Oxy даден домейн Д, се постига, ограничена от линия L. Да предположим, че х и у са единични и непрекъснато диференцируеми функции на новите променливи ф и о:

х = φ (U, V), Y = ψ (U, V). (9.6)

Да разгледаме Ouv правоъгълна координатна система, на точка Р (U, V), който съответства на точка Р (х, у) на региона D. Всички тези точки образуват в равнина D Ouv регион ограничена от линията L. Може да се каже, че формулата (9.6) се установи съответствие едно към едно между точките на области D и D. В този случай, линиите и = конст и

V = конст в Ouv равнина ще съответства на някои от линиите в равнината Oxy.

Да разгледаме равнина Ouv правоъгълни δS площ, ограничена от линиите ф = CONST, U + δu = конст, V = CONST и V + δv = конст. Тя отговаря на извити платформа δS в равнината Oxy (Фигура 4). Квадратни счита обекти също ще бъдат обозначени DS и DS. Така δS = δu δv. Намерете лицето DS. Ние означават върховете на четириъгълник криволинейна Р1, Р2, Р3, Р4, където

Р1 (X1, Y1), Х1 = φ (U, V), Y 1 = ψ (U, V);

Р2 (x2, y2), Х2 = φ (U + δu, о), Y2 = ψ (U + δu, о);

P3 (x3, Y3), x3 = φ (U + δu, о + δv), Y3 = ψ (U + δu, о + δv);

Р4 (х4, Y4), Х4 = φ (U, V + δv), Y4 = ψ (U, V + δv).

Замяна на малки стъпки δu и δv съответните диференциали. след това

В този четириъгълник P1 P2 P3 P4 може да поеме успоредник и определяне площ от формула от аналитичната геометрия:

Определение 9.3. В детерминанта се нарича функционално детерминанта или Jacobian функция Ф (х, у) и ф (х, у).

Преминаване на границата в (9.7), ние получаваме геометричното значение на Jacobian:

т.е. Jacobian модул е ​​граница на съотношението на площ от безкрайно области DS и DS.

Забележка. По същия начин, може да се дефинира понятието на Jacobian и геометричната значение за п-тримерното пространство: ако x1 = φ1 (U1, U2, ..., не), Х2 = φ2 (U1, U2, ..., не), ..., хп = φ (U1 , u2, ..., ООН),

В този модул дава граница Jacobian на съотношение "обем" на малките региони на пространство x1, x2, ..., Xn и u1, u2, ..., ООН.

Промяна на променливи в тройни интеграли.

Ние разследваме общия случай на промяна на променливите по примера на двоен интеграл.

В област D се дава непрекъсната функция Z = F (х, у), като всяка стойност, която съответства на една и съща стойност на функция Z = F (U, V) в област D, където

F (U, V) = F (φ (U, V), ψ (U, V)). (9.9)

Помислете за неразделна сумата

където интегралният сума се поема дясната зона D. Отдаване под наем получаваме координатите формула превръщане в двойна неразделна:

По същия начин, подобен формула могат да бъдат получени за тройната интеграл:

където х = φ (U, V, W), Y = ψ (U, V, W), Z = χ (U, V, W),

и област V Oxyz пространството се появи в пространството V Ouvw.

Преходът към цилиндрични и сферични координати

в троен интеграл.

Откриваме, като се използва формула (9.4), (9.5) и (9.12), Jacobians преход от декартови координати на цилиндричен и сферични:

1. цилиндрични координати

1. за сферични координати

След това, в тройни интегрални формулите за прехода към цилиндрични или сферични координати ще бъде: (9.15)

,

където смисъла на нотацията е ясно от предходния текст.

1. Ние изчисли интеграла на функция на областта, ограничена от повърхности Х + y² = 1, у = 0, Y = X, Z = 0, Z = 1.

1. Нека подинтегрален ф = 1, и района на интеграция - една топка с радиус R, съсредоточен на произхода. след това

.

Майката на всички приборостроене бе специалитети отдел "фината механика устройства", която беше открита през 1961 г. във Факултета по машиностроене.
През 1976 г. бе организирана оптико-механични отдел.